Materiály ze cvičení
Kód k numerickým řešením Cauchyho úlohy
Eulerova metoda je explicitní jednokrokový řešič prvního řádu (s chybou metody O(h^1)). Použitá metoda Runge-Kutta je potom explicitní jednokrokový řešič řádu čtvrtého (chyba metody O(h^4)).Explicitní metody řešení Cauchyho úlohy pro SODE jsou vhodné pro řešení takzvaných non-stiff systémů. Pro pochopení jejich nedostatků při řešení stiff systémů (systémy, kde mají jednotlivé členy řádově rozdílné hodnoty) je potřeba pochopit koncept A-stability numerických metod.
Jednokrokové metody jsou vhodné pro řešení malých soustav nebo soustav pro které hrozí oscilace řešení.
Námi programované řešitele nedisponují funkcí adaptivní délky kroku. Délka kroku, H, musí být zadána jako jeden ze vstupních parametrů. Pokročilejší řešitele jsou schopny na základě a posteriori odhadu chyby řešení upravovat délku kroku v průběhu výpočtu tak, aby bylo dosaženo požadované přesnosti řešení. Příklad metody s adaptivní délkou kroku je možné najít například na wikipedii (poté, co si přečtete popis příkladu, zkuste se zamyslet, proč se algoritmy v matlabu jmenují ode45, ode23 atd., atp.).
K souboru, který jsem nahrával minulý týden a se kterým jsme pracovali na cvičení jsem přidal problem3. Jedná se o soustavu dravec-kořist. Na cvičení jsme vždy zobrazovali takzvané integrální křivky jednotlivých funkcí řešení, x_i = x_i(t), i=1,2,...,n.
V případě problem3 jsem nezobrazoval integrální křivky, ale trajektorie řešení ve stavovém prostoru pro různé počáteční podmínky. Tomuto zobrazení se říká také fázový portrét, což je výraz, který doporučuji si zapamatovat.
V případě problem3 je stavový prostor R^2, takže fázový portrét vykresluji do roviny.
Upravený kód naleznete zde.
Kód k numerickým řešením SNAE - Newtonova metoda
Na příštím cvičení si budeme ukazovat algoritmus na řešení soustav nelineárních algebraických rovnic. Základním pro tento účel používaným algoritmem je Newtonova metoda.Zkuste si kód projít. Proč Newtonova metoda selhává v případě problem2?
Případ problem3 je zase převzat z modelu dravec kořist (viz. výše). Tentokrát soustavu diferenciálních rovnic neřešíme, ale hledáme takový bod, kde se všechny derivace (rychlosti změny jednotlivých souřadnic) rovnají nule. Jinak řečeno takový bod, který když zvolíme jako počáteční podmínku, tak jej za libovolný časový interval (kladný i záporný) neopustíme. Jedná se tedy o jednobodovou trajektorii ve stavovém prostoru.
Takovému bodu potom říkáme stacionární/rovnovážný stav (steady state) soustavy. Která z trajektorií vykreslená souborem cv4_1a.m odpovídá tomuto bodu?
Kód Newtonovy metody včetně příkladů naleznete zde.